【全微分dz怎么求】在多元函数中，全微分是一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的变化情况。对于二元函数 $ z = f(x, y) $，其全微分 $ dz $ 可以通过偏导数来计算。本文将系统地总结全微分 $ dz $ 的求法，并通过表格形式进行对比说明。
一、全微分的定义
设函数 $ z = f(x, y) $ 在点 $ (x, y) $ 处可微，则其全微分 $ dz $ 定义为：
$$
dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy
$$
其中，$ dx $ 和 $ dy $ 是自变量 $ x $ 和 $ y $ 的微小变化量，$ \frac{\partial f}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial f}{\partial y} $ 分别是函数对 $ x $ 和 $ y $ 的偏导数。
二、全微分的求法步骤
1. 确定函数表达式：明确所给函数的形式，如 $ z = f(x, y) $。
2. 计算偏导数：
- 对 $ x $ 求偏导：$ \frac{\partial f}{\partial x} $
- 对 $ y $ 求偏导：$ \frac{\partial f}{\partial y} $
3. 代入公式：将偏导数和微小变化量代入全微分公式中。
三、典型例题解析
例1：已知 $ z = x^2 + xy + y^2 $
- 计算偏导数：
- $ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y $
- $ \frac{\partial z}{\partial y} = x + 2y $
- 全微分：
$$
dz = (2x + y)dx + (x + 2y)dy
$$
例2：已知 $ z = e^{xy} $
- 计算偏导数：
- $ \frac{\partial z}{\partial x} = ye^{xy} $
- $ \frac{\partial z}{\partial y} = xe^{xy} $
- 全微分：
$$
dz = ye^{xy} dx + xe^{xy} dy
$$
四、全微分与偏导数的关系
| 项目 | 全微分 $ dz $ | 偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ | 偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ |
| 定义 | 描述函数整体变化 | 描述函数沿 $ x $ 方向的变化率 | 描述函数沿 $ y $ 方向的变化率 |
| 表达式 | $ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy $ | $ \frac{\partial z}{\partial x} $ | $ \frac{\partial z}{\partial y} $ |
| 用途 | 用于近似计算和误差分析 | 用于局部变化分析 | 用于局部变化分析 |
五、注意事项
- 全微分仅适用于函数在该点可微的情况下；
- 若函数不可微或存在不连续点，不能使用全微分；
- 全微分可以推广到三元或更多元函数，形式类似。
六、总结
全微分 $ dz $ 是多元函数在某一点附近变化的线性近似，其计算依赖于函数的偏导数。掌握全微分的求法，有助于理解函数的变化趋势，并在实际问题中进行近似计算和误差估计。通过以上方法和例子，可以清晰地掌握“全微分 $ dz $ 怎么求”的核心内容。
