🎉整理辗转相除法求最大公约数算法证明 📝
发布时间：2025-03-19 03:33:34来源：
辗转相除法是一种古老而高效的算法，用于计算两个整数的最大公约数（GCD）。它的核心思想是利用了这样一个数学性质：两个整数 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数等于 \(b\) 和 \(a \mod b\) 的最大公约数。🤔
首先，我们设 \(a > b\)，且 \(d\) 是 \(a\) 和 \(b\) 的公约数，则 \(d\) 必然也整除 \(a - kb\)（其中 \(k\) 为任意整数）。当 \(k = \lfloor a/b \rfloor\) 时，\(a - kb = r\)（即余数），因此 \(d\) 同样整除 \(r\)。由此可知，\(a\) 和 \(b\) 的公约数与 \(b\) 和 \(r\) 的公约数完全一致。这样一来，问题就简化成了求解 \(b\) 和 \(r\) 的最大公约数，直至余数为零为止。✨
这个过程体现了辗转相除法的高效性，同时也证明了其正确性。🌟 实际操作中，我们只需不断用较小数对较大数取模，直到余数为零，此时最后的非零余数即为最大公约数。 gcd ❤️🔥
通过这种方法，我们可以快速找到两个数的最大公约数，无论是编程实现还是理论推导，都显得简洁优雅！💻
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