在数学领域中，泰勒展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法，它能够帮助我们更好地理解函数的性质以及其在某一点附近的局部行为。这种展开方式广泛应用于微积分、物理学和工程学等多个学科中。接下来，我们将介绍一些常见的泰勒展开式。

指数函数 e^x 的泰勒展开式

指数函数 e^x 是所有函数中最基础也是最重要的一个，其泰勒展开式如下：

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \]

这个公式表明，无论 x 取何值，e^x 总是可以被无限接近地逼近。

正弦函数 sin(x) 的泰勒展开式

正弦函数是三角函数之一，其泰勒展开式为：

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

这个展开式展示了正弦函数是如何通过奇次幂项来表示的。

余弦函数 cos(x) 的泰勒展开式

与正弦函数类似，余弦函数也有自己的泰勒展开式：

\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]

这里可以看到，余弦函数是由偶次幂项构成的。

对数函数 ln(1+x) 的泰勒展开式

当 |x| < 1 时，对数函数 ln(1+x) 可以写成如下形式：

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \]

这一公式适用于 x 接近于零的情况。

幂函数 (1+x)^a 的泰勒展开式

对于任意实数 a，当 |x| < 1 时，幂函数 (1+x)^a 的泰勒展开式为：

\[ (1+x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \binom{a}{n}x^n \]

其中 \(\binom{a}{n}\) 表示组合数。

这些只是众多泰勒展开式中的几个例子。通过这些展开式，我们可以更深入地研究各种函数的行为，并解决实际问题中的复杂情况。掌握这些基本形式有助于进一步学习更高级的数学知识和技术应用。