在解析几何中，计算两条直线之间的距离是一个常见问题。当两条直线平行时，我们可以通过它们的方程来求出它们之间的垂直距离。这里我们将详细推导直线到直线的距离公式。

假设与前提条件

假设我们有两条直线 \( L_1 \) 和 \( L_2 \)，它们的方程分别为：

\[ L_1: Ax + By + C_1 = 0 \]

\[ L_2: Ax + By + C_2 = 0 \]

其中，\( A \) 和 \( B \) 是两个系数，且不同时为零（否则直线退化为点或不存在）。\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数项。由于这两条直线平行，因此它们的法向量相同，即 \( (A, B) \)。

我们需要求出这两条直线之间的最短距离，也就是它们之间的垂直距离。

推导步骤

1. 确定任意一点

为了简化推导，我们可以选择直线 \( L_1 \) 上的一点 \( P(x_1, y_1) \)，使得它满足直线 \( L_1 \) 的方程：

\[ Ax_1 + By_1 + C_1 = 0 \]

2. 计算点到直线的距离

根据点到直线的距离公式，点 \( P(x_1, y_1) \) 到直线 \( L_2 \) 的距离 \( d \) 可以表示为：

\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

3. 消去点坐标

将点 \( P(x_1, y_1) \) 满足的方程 \( Ax_1 + By_1 + C_1 = 0 \) 代入上式，得到：

\[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

结论

通过上述推导，我们得到了两条平行直线之间的距离公式：

\[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

这个公式表明，两条平行直线之间的距离仅依赖于它们的常数项 \( C_1 \) 和 \( C_2 \)，以及它们的法向量 \( (A, B) \)。

应用举例

假设我们有两条直线：

\[ L_1: 3x + 4y + 5 = 0 \]

\[ L_2: 3x + 4y + 15 = 0 \]

利用公式计算它们之间的距离：

\[ d = \frac{|15 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{10}{5} = 2 \]

因此，这两条直线之间的距离为 2。

总结来说，通过以上推导和公式应用，我们可以快速准确地计算出两条平行直线之间的距离。这一公式在解析几何中有广泛的应用，尤其是在工程和物理学中。