【高中三角函数公式】在高中数学中，三角函数是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握常见的三角函数公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对高中阶段常见三角函数公式的总结，便于学生复习与记忆。
一、基本三角函数定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
| 函数名称 | 表达式 | 定义域 | 值域 |
| 正弦 | sinα = y | R | [-1, 1] |
| 余弦 | cosα = x | R | [-1, 1] |
| 正切 | tanα = y/x | α ≠ π/2 + kπ | R |
| 余切 | cotα = x/y | α ≠ kπ | R |
| 正割 | secα = 1/cosα | α ≠ π/2 + kπ | (-∞, -1] ∪ [1, +∞) |
| 余割 | cscα = 1/sinα | α ≠ kπ | (-∞, -1] ∪ [1, +∞) |
二、同角三角函数关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 平方关系 | sin²α + cos²α = 1 |
| 商数关系 | tanα = sinα / cosα |
| 倒数关系 | sinα = 1 / cscα, cosα = 1 / secα, tanα = 1 / cotα |
三、诱导公式（用于求任意角的三角函数值）
| 角度变换 | 三角函数值变化规律 |
| α + 2kπ | 与α的三角函数值相同 |
| -α | sin(-α) = -sinα, cos(-α) = cosα, tan(-α) = -tanα |
| π - α | sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = -cosα, tan(π - α) = -tanα |
| π + α | sin(π + α) = -sinα, cos(π + α) = -cosα, tan(π + α) = tanα |
| 2π - α | sin(2π - α) = -sinα, cos(2π - α) = cosα, tan(2π - α) = -tanα |
四、两角和与差的三角函数公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ |
| 余弦和差 | cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ |
| 正切和差 | tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | sin2α = 2sinα cosα |
| 余弦倍角 | cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α |
| 正切倍角 | tan2α = 2tanα / (1 - tan²α) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2] |
| 余弦半角 | cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2] |
| 正切半角 | tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)] = (sinα)/(1 + cosα) |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinα cosβ | [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2 |
| cosα cosβ | [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2 |
| sinα sinβ | [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2] |
总结
高中阶段的三角函数公式种类繁多，但掌握其基本结构和使用方法是关键。通过熟记这些公式，并结合练习题进行应用，能够有效提升解题能力和数学思维水平。建议在学习过程中，结合图形理解，加深对公式的直观认识，从而更好地应对考试与实际问题。
