【连续随机变量的期望与方差公式】在概率论与数理统计中，连续随机变量是描述某些可以取实数范围内任意值的随机现象的重要工具。对于连续随机变量，我们通常通过概率密度函数（PDF）来刻画其分布特性。在实际应用中，为了更好地理解这些变量的集中趋势和离散程度，我们需要计算它们的期望（均值）和方差。
本文将对连续随机变量的期望与方差公式进行总结，并以表格形式清晰展示。
一、期望（数学期望）
期望是描述随机变量在长期试验中平均取值的一个重要指标，也称为数学期望或均值。对于一个连续随机变量 $ X $，其期望 $ E(X) $ 的定义如下：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx
$$
其中，$ f(x) $ 是随机变量 $ X $ 的概率密度函数（PDF）。
二、方差
方差用于衡量随机变量与其期望之间的偏离程度，即变量的波动性大小。方差的计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
其中：
- $ E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) \, dx $
- $ E(X) $ 如上所述
三、常见连续分布的期望与方差
以下是一些常见的连续分布及其对应的期望与方差公式：
| 分布名称 | 概率密度函数 $ f(x) $ | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ | $ \frac{(b - a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ \text{Exp}(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 伽玛分布 $ \text{Gamma}(\alpha, \beta) $ | $ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x} $, $ x > 0 $ | $ \frac{\alpha}{\beta} $ | $ \frac{\alpha}{\beta^2} $ |
四、总结
连续随机变量的期望与方差是描述其分布特征的核心指标。期望反映了变量的中心位置，而方差则反映了变量的离散程度。通过对不同分布的期望与方差进行分析，我们可以更深入地理解随机变量的行为，并为实际问题提供理论支持。
在实际应用中，掌握这些公式有助于我们在统计建模、风险评估、数据预测等领域做出更准确的判断与决策。
