在三维空间解析几何中，我们经常需要研究平面之间的关系以及点与平面的位置关系。其中，“两平面的夹角”和“点到平面的距离”是两个重要的概念。本文将围绕这两个核心问题展开讨论，并给出相应的数学公式及其推导过程。
一、两平面的夹角
假设存在两个平面 \( \pi_1 \) 和 \( \pi_2 \)，其一般方程分别为：
\[
\pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0
\]
\[
\pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0
\]
其中，\( A_i, B_i, C_i \)（\( i=1,2 \)）为平面的法向量分量，而 \( D_i \) 是常数项。根据平面的几何特性，平面的法向量决定了平面的方向。因此，两平面的夹角实际上取决于它们法向量之间的夹角。
推导过程
设平面 \( \pi_1 \) 的法向量为 \( \vec{n}_1 = (A_1, B_1, C_1) \)，平面 \( \pi_2 \) 的法向量为 \( \vec{n}_2 = (A_2, B_2, C_2) \)。两平面的夹角 \( \theta \) 满足余弦公式：
\[
\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \|\vec{n}_2\|}
\]
其中：
- \( \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 \) 是两法向量的点积；
- \( \|\vec{n}_1\| = \sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \)，\( \|\vec{n}_2\| = \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} \) 分别是两法向量的模长。
因此，两平面的夹角 \( \theta \) 可通过上述公式计算得到。
二、点到平面的距离公式
给定点 \( P(x_0, y_0, z_0) \) 和平面 \( \pi: Ax + By + Cz + D = 0 \)，我们需要求出点 \( P \) 到平面 \( \pi \) 的垂直距离。
推导过程
点到平面的距离可以看作是从点 \( P \) 向平面引一条垂直线段的长度。利用点到平面的投影性质，可以得出以下公式：
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]
其中：
- \( d \) 表示点 \( P \) 到平面 \( \pi \) 的距离；
- \( Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \) 是点 \( P \) 的坐标代入平面方程的结果；
- \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \) 是平面法向量的模长。
该公式的推导基于点到平面的垂线方向与平面法向量一致这一几何事实。
三、应用举例
示例 1：计算两平面的夹角
已知两平面分别为：
\[
\pi_1: x - 2y + z + 3 = 0
\]
\[
\pi_2: 2x + y - z - 5 = 0
\]
计算两平面的夹角。
解：平面 \( \pi_1 \) 的法向量为 \( \vec{n}_1 = (1, -2, 1) \)，平面 \( \pi_2 \) 的法向量为 \( \vec{n}_2 = (2, 1, -1) \)。根据公式：
\[
\cos\theta = \frac{|(1)(2) + (-2)(1) + (1)(-1)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}}
\]
计算得：
\[
\cos\theta = \frac{|2 - 2 - 1|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6}
\]
因此，两平面的夹角为 \( \theta = \arccos\left(\frac{1}{6}\right) \)。
示例 2：计算点到平面的距离
已知点 \( P(1, 2, 3) \) 和平面 \( \pi: 2x - y + z - 4 = 0 \)，求点 \( P \) 到平面 \( \pi \) 的距离。
解：根据公式：
\[
d = \frac{|2(1) - (2) + (3) - 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}}
\]
计算得：
\[
d = \frac{|2 - 2 + 3 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{6}}
\]
因此，点 \( P \) 到平面 \( \pi \) 的距离为 \( d = \frac{1}{\sqrt{6}} \)。
四、总结
本文详细介绍了两平面的夹角和点到平面的距离公式及其推导过程。这些公式在解决三维几何问题时具有广泛的应用价值，特别是在计算机图形学、机器人导航等领域。掌握这些基础知识有助于更深入地理解三维空间中的几何关系。
希望本文能帮助读者更好地理解和应用这些重要概念！
