【黄金分割法基本原理】黄金分割法是一种用于单变量优化的搜索方法，常用于寻找函数的极值点。其核心思想是通过不断缩小搜索区间，逐步逼近最优解。该方法基于黄金分割比例（约为0.618），在每次迭代中保留一个具有较高精度的区间，从而提高计算效率。
以下是黄金分割法的基本原理总结：
一、黄金分割法基本原理总结
| 内容 | 说明 |
| 定义 | 黄金分割法是一种适用于单变量连续函数的优化方法，用于确定函数的最小值或最大值点。 |
| 适用范围 | 适用于单峰函数，即在某个区间内函数先递增后递减（或相反）的情况。 |
| 基本思想 | 通过在区间内选择两个对称点，根据函数值大小决定保留哪个子区间，逐步缩小搜索范围。 |
| 黄金比例 | 采用约0.618的比例来确定两个中间点的位置，以保证每次迭代后的区间长度按固定比例减少。 |
| 迭代步骤 | 1. 确定初始区间 [a, b]； 2. 计算两个内部点 x₁ 和 x₂； 3. 比较 f(x₁) 和 f(x₂) 的大小； 4. 根据比较结果，保留包含极值点的子区间； 5. 重复上述步骤，直到满足收敛条件。 |
| 优点 | 不需要求导，计算简单，适用于不可导或难以求导的函数。 |
| 缺点 | 仅适用于单变量问题，且要求函数为单峰函数。 |
二、黄金分割法示意图（文字描述）
在区间 [a, b] 中，选取两个点 x₁ 和 x₂，它们的位置分别由以下公式确定：
- x₁ = a + (b - a) × (1 - r)
- x₂ = a + (b - a) × r
其中 r = (√5 - 1)/2 ≈ 0.618。
在每次迭代中，比较 f(x₁) 和 f(x₂)，若 f(x₁) < f(x₂)，则说明极值点位于 [a, x₂] 区间内，否则位于 [x₁, b] 区间内。通过不断缩小区间，最终得到一个足够小的区间，其中包含极值点。
三、总结
黄金分割法是一种高效、实用的优化算法，特别适合于单变量单峰函数的极值求解。其核心在于利用黄金分割比例，合理地缩小搜索区间，从而在较少的迭代次数内达到较高的精度。虽然该方法有其局限性，但在实际应用中仍被广泛使用。
