超几何分布的期望和方差可以这样记：在总体 N 件里有 K 件目标物，随机抽取 n 件，抽到目标物数量 X 的期望是 nK/N，方差是 nK/N(1-K/N)(N-n)/(N-1)。这个结果来自抽取不放回时每次命中目标物的概率保持一致，同时样本之间会相互关联，所以方差要乘上有限总体校正因子 (N-n)/(N-1)。当你把 N、K、n 代入公式，就能直接得到均值和离散程度；如果 N 很大、抽取数量相对较少，超几何分布的期望和方差还会贴近二项分布的计算结果，方便快速估算。
一、参数定义
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| N | 总体数量，比如一批产品总数 |
| K | 总体里目标物数量，比如次品数、中奖数、某类数量 |
| n | 抽取数量，比如抽样件数 |
| X | 抽到的目标物数量，服从超几何分布 |
| X ∼ Hyper(N, K, n) | 表示 X 是超几何分布随机变量 |
二、核心公式
1. 期望公式
[
E(X)=nfrac{K}{N}
]
也可以写成：
[
E(X)=np
]
其中：
[
p=frac{K}{N}
]
2. 方差公式
[
Var(X)=nfrac{K}{N}left(1-frac{K}{N}ight)frac{N-n}{N-1}
]
也可以写成：
[
Var(X)=np(1-p)frac{N-n}{N-1}
]
其中：
[
p=frac{K}{N}
]
3. 标准差公式
[
sigma_X=sqrt{Var(X)}
]
标准差用于把方差的单位还原成和目标物数量相同的单位，阅读起来更直观。
三、公式背后的逻辑
- 每次抽取的目标物概率相同：在抽取前，任意一次抽到目标物的概率都是 K/N，所以期望可以看成 n 次概率叠加。
- 期望是 n 个指示变量之和：每一次抽取是否命中目标物，可以记为一个 0 或 1 的小变量，X 就是这些小变量相加。
- 不放回会让样本之间相关：前面抽到目标物后，后面抽到目标物的机会会随之变化，这种相关性体现在方差的校正因子里。
- 有限总体校正因子表示抽取比例影响：因子 (frac{N-n}{N-1}) 用来体现从有限总体里抽取 n 个对象后的离散程度变化。
四、计算步骤
- 写出总体数量 N：确认一共有多少个对象。
- 写出目标物数量 K：确认有多少个对象属于目标类别。
- 写出抽取数量 n：确认这次抽取多少个对象。
- 计算命中概率 p：用 (p=K/N)。
- 代入期望公式：得到 (E(X)=np)。
- 代入方差公式：得到 (Var(X)=np(1-p)frac{N-n}{N-1})。
- 计算标准差：需要时用 (sqrt{Var(X)})。
五、数值示例
假设：
| 参数 | 数值 | 说明 |
|---|---|---|
| N | 50 | 总共有 50 个产品 |
| K | 10 | 其中 10 个为目标类别 |
| n | 5 | 随机抽取 5 个产品 |
1. 先算命中概率
[
p=frac{K}{N}=frac{10}{50}=0.2
]
2. 计算期望
[
E(X)=n p=5 imes 0.2=1
]
3. 计算方差
[
Var(X)=n p(1-p)frac{N-n}{N-1}
]
代入：
[
Var(X)=5 imes 0.2 imes 0.8 imes frac{50-5}{50-1}
]
[
Var(X)=5 imes 0.2 imes 0.8 imes frac{45}{49}
]
[
Var(X)approx 3.67
]
4. 计算标准差
[
sigma_X=sqrt{3.67}approx 1.92
]
所以这个例子里，超几何分布的期望和方差分别是 1 和约 3.67，标准差约是 1.92。
六、和近似场景的关系
| 场景 | 计算方式 | 特点 |
|---|---|---|
| 不放回抽样 | 使用超几何分布的期望和方差公式 | 更贴近总体数量有限的真实情况 |
| 有放回抽样 | 使用二项分布的期望和方差公式 | 每次概率保持不变，样本之间相互独立 |
| 总体很大、抽取比例较小 | 超几何分布的期望和方差可贴近二项分布结果 | 有限总体校正因子接近 1，计算更简洁 |
当 (n) 相对于 (N) 很小，(frac{N-n}{N-1}) 会接近 1，这时超几何分布的期望和方差与二项分布的对应公式很接近。
七、快速记忆版
- 总体比例：(K/N)
- 期望：抽取数量 × 总体比例，即 (E(X)=nK/N)
- 方差：抽取数量 × 总体比例 × 非目标比例 × 有限总体校正因子，即
[
Var(X)=nfrac{K}{N}left(1-frac{K}{N}ight)frac{N-n}{N-1}
]
【常见问题】
问题1：超几何分布的期望和方差常用公式是什么？
回答1：超几何分布的期望和方差常用公式是 (E(X)=nK/N)，(Var(X)=nK/N(1-K/N)(N-n)/(N-1))。
问题2：超几何分布的期望和方差适合什么场景？
回答2：超几何分布的期望和方差适合不放回抽样场景，比如从 N 个对象里抽取 n 个，统计其中 K 类目标物被抽到的数量。
问题3：为什么超几何分布的期望和方差要乘有限总体校正因子？
回答3：因为超几何分布描述的是不放回抽样，抽取越多，剩余目标物数量越会影响后续结果，有限总体校正因子能体现这种关联，使超几何分布的期望和方差更贴合有限总体情况。
问题4：计算超几何分布的期望和方差时，怎样安排步骤更清晰？
回答4：计算超几何分布的期望和方差时，可以先列出 N、K、n，再计算 (p=K/N)，然后用 (E(X)=np) 得到期望，最后用 (Var(X)=np(1-p)(N-n)/(N-1)) 得到方差。
问题5：超几何分布的期望和方差与二项分布有什么接近关系？
回答5：当总体数量 N 很大、抽取数量 n 相对较小时，超几何分布的期望和方差与二项分布的期望和方差很接近，因为有限总体校正因子接近 1。
免责声明：以上超几何分布的期望和方差内容用于学习和计算参考，使用时请结合具体题目条件核对参数。
