判断两个平面垂直的核心方法是：证明其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面；也可以用“两个平面的二面角为直角”或“两个平面的法向量点积为0”进行判定。在立体几何题中，先寻找交线、垂线、面面垂直的已知条件，再把线面垂直关系转化为面面垂直关系，是快速完成判定的关键路径。
核心判定依据
清单
- • 线面垂直推面面垂直：若直线 l 垂直于平面 α，且直线 l 在平面 β 内，则平面 β 垂直于平面 α。
- • 二面角直角判定：若两个平面 α、β 的二面角大小为 90°，则平面 α 垂直于平面 β。
- • 向量法向量判定：若平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，且 n1·n2=0，则平面 α 垂直于平面 β。
操作步骤
表格
步骤 | 操作 | 检查点
1 | 明确平面与直线 | 明确题目涉及的两个平面以及可作为桥梁的直线 | 直线在一个平面内
2 | 验证线面垂直 | 证明直线垂直于另一个平面内两条相交直线 | 条件符合线面垂直判定定理
3 | 给出面面垂直 | 使用“一条直线垂直于一个平面，且该直线在另一个平面内”的定理 | 两个平面的交线一致
4 | 向量辅助验证 | 求法向量并计算点积 | 点积为0可确认垂直关系
二面角确认
- • 在两个平面的交线上取点，分别在两个平面内作垂直于交线的射线。
- • 两条射线构成的角就是二面角的平面角。
- • 若这个平面角为 90°，两个平面呈垂直关系。
向量判定
表格
类型 | 表示 | 判定条件
平面α法向量 | n1 = (A1, B1, C1) | n1与n2点积为0
平面β法向量 | n2 = (A2, B2, C2) | A1A2+B1B2+C1C2=0
结果 | 两平面垂直关系成立 | 点积等于0时垂直关系成立
选择路径
使用上述方法，可根据题目条件选择“线面垂直判定”“二面角判定”或“法向量判定”。在常规几何题中，优先寻找一条直线同时满足“在另一个平面内”和“垂直于一个平面”的条件；在坐标几何题中，优先计算法向量点积，流程稳定且便于复核。
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