【几何平均数的公式】几何平均数是统计学中常用的一种平均数计算方法，尤其适用于数据呈指数增长或变化率不一致的情况。与算术平均数不同，几何平均数更能反映数据之间的相对变化关系，常用于计算投资回报率、增长率、比例等。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组数值相乘后，再开n次方（n为数值个数）所得到的结果。其基本思想是：通过乘积的方式体现各数值之间的相互影响，从而更准确地反映整体趋势。
二、几何平均数的公式
设有一组正实数 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，则它们的几何平均数 $ G $ 的公式为：
$$
G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n}
$$
或者用对数形式表示为：
$$
G = \exp\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i) \right)
$$
三、几何平均数的特点
| 特点 | 说明 |
| 受极端值影响小 | 相比算术平均数，几何平均数对极大或极小值的敏感度较低 |
| 适用于比率或增长率 | 如年化收益率、人口增长等场景 |
| 数据必须为正数 | 几何平均数在负数或零的情况下无法计算 |
| 更适合连续复利计算 | 在金融和经济分析中广泛应用 |
四、几何平均数的应用实例
假设某公司三年的年增长率分别为 10%、20% 和 30%，计算其平均增长率：
- 转换为倍数：1.10、1.20、1.30
- 计算几何平均数：
$$
G = \sqrt[3]{1.10 \times 1.20 \times 1.30} \approx \sqrt[3]{1.716} \approx 1.20
$$
- 即年均增长率为 20%
五、几何平均数与算术平均数的区别
| 指标 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 计算方式 | 乘积开n次方 | 各数值之和除以个数 |
| 适用场景 | 比率、增长率 | 均匀分布的数据 |
| 对极端值敏感度 | 较低 | 较高 |
| 是否允许负数 | 不允许 | 允许 |
六、总结
几何平均数是一种重要的统计指标，特别适用于描述具有比例关系或变化率的数据集。它的计算方式不同于算术平均数，能够更真实地反映数据的变化趋势，尤其是在涉及复利、增长率等实际问题中具有广泛的应用价值。理解并正确使用几何平均数，有助于更科学地进行数据分析和决策。
