在数学学习中，二元一次方程组是一个非常基础且重要的知识点。它不仅帮助我们理解代数的基本原理，还能在实际生活中解决许多问题。本文将通过具体的例子，详细介绍二元一次方程组的解法过程，并提供详细的答案解析，希望能对读者有所帮助。
什么是二元一次方程组？
二元一次方程组是由两个含有两个未知数（通常表示为 \(x\) 和 \(y\)）的一次方程组成的系统。其一般形式如下：
\[
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
\]
其中，\(a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2\) 是已知常数，且 \(a_1, a_2, b_1, b_2\) 不全为零。
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组常用的方法有以下几种：
1. 代入消元法
这种方法是通过将一个方程中的某未知数用另一个方程表示出来，然后代入到另一个方程中，从而消去一个未知数，最终求解出另一个未知数。
2. 加减消元法
通过对方程进行适当的加减运算，使得其中一个未知数的系数相同或相反，从而消去该未知数，进而求解。
3. 图像法
将每个方程视为一条直线，在平面直角坐标系中画出这两条直线，交点即为方程组的解。
示例题目与解答
题目一：
解下列二元一次方程组：
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
4x - y = 5
\end{cases}
\]
解法步骤：
1. 选择方法：这里我们使用加减消元法。
2. 消去 \(y\)：为了消去 \(y\)，我们将第一个方程乘以 1，第二个方程乘以 3，使 \(y\) 的系数相等。
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
12x - 3y = 15
\end{cases}
\]
3. 相加两式：将两式相加得到：
\[
14x = 23 \implies x = \frac{23}{14}
\]
4. 代入求 \(y\)：将 \(x = \frac{23}{14}\) 代入任意一个原方程，例如第一个方程：
\[
2 \left( \frac{23}{14} \right) + 3y = 8
\]
化简得：
\[
\frac{46}{14} + 3y = 8 \implies 3y = 8 - \frac{46}{14} = \frac{112}{14} - \frac{46}{14} = \frac{66}{14}
\]
\[
y = \frac{66}{42} = \frac{11}{7}
\]
答案：\(x = \frac{23}{14}, y = \frac{11}{7}\)
题目二：
解下列二元一次方程组：
\[
\begin{cases}
x - 2y = 3 \\
3x + y = 7
\end{cases}
\]
解法步骤：
1. 选择方法：这里我们使用代入消元法。
2. 从第一个方程中解出 \(x\)：由 \(x - 2y = 3\) 得到 \(x = 2y + 3\)。
3. 代入第二个方程：将 \(x = 2y + 3\) 代入 \(3x + y = 7\)：
\[
3(2y + 3) + y = 7
\]
化简得：
\[
6y + 9 + y = 7 \implies 7y = -2 \implies y = -\frac{2}{7}
\]
4. 代入求 \(x\)：将 \(y = -\frac{2}{7}\) 代入 \(x = 2y + 3\)：
\[
x = 2 \left( -\frac{2}{7} \right) + 3 = -\frac{4}{7} + 3 = \frac{-4 + 21}{7} = \frac{17}{7}
\]
答案：\(x = \frac{17}{7}, y = -\frac{2}{7}\)
总结
通过以上两个例子，我们可以看到，无论是代入消元法还是加减消元法，只要掌握方法并细心计算，都可以顺利求解二元一次方程组。希望这些详细的解答能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。如果有更多问题或需要进一步的练习，请随时提出！
