【错位相减(相加)法的题目给我做,最好是给一道例题做出来。】在数列求和中，错位相减法是一种非常常见的方法，尤其适用于等差数列与等比数列相乘后形成的数列求和问题。这种方法通过将原数列与其对应的错位后的数列相减，从而简化计算过程。下面以一道典型例题来展示该方法的具体应用。
例题：
已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = n \cdot 2^n$，求前 $n$ 项和 $S_n$。
解题步骤总结：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 写出数列的前几项：$S_n = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n$ |
| 2 | 将整个式子乘以公比 $2$：$2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \cdots + n \cdot 2^{n+1}$ |
| 3 | 用原式减去新式：$S_n - 2S_n = (1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + \cdots + n \cdot 2^n) - (1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^{n+1})$ |
| 4 | 整理右边的表达式，合并同类项：$-S_n = 2 + (2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n) - n \cdot 2^{n+1}$ |
| 5 | 计算等比数列部分的和：$\sum_{k=2}^{n} 2^k = 2^{n+1} - 4$ |
| 6 | 代入并整理得到结果：$-S_n = 2 + (2^{n+1} - 4) - n \cdot 2^{n+1} = -2 + (1 - n) \cdot 2^{n+1}$ |
| 7 | 最终得出：$S_n = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2$ |
答案总结表：
| 项目 | 内容 |
| 数列通项 | $a_n = n \cdot 2^n$ |
| 前 $n$ 项和公式 | $S_n = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2$ |
通过这个例子可以看出，错位相减法的关键在于构造一个与原数列“错位”的新数列，并通过相减消去中间的复杂项，最终得到一个可以利用等比数列求和公式处理的结果。这种方法在高中数学中非常常见，是解决类似问题的重要工具。
