【几何平均值公式】几何平均值是一种用于计算多个数的平均值的方法，尤其适用于数据之间存在乘法关系的情况。它常用于金融、经济、统计学和科学领域，用来衡量增长率、投资回报率或比例变化等。与算术平均值不同，几何平均值更能反映数据之间的相对变化。
一、几何平均值的定义
几何平均值（Geometric Mean）是将一组正数相乘后，再开n次方（n为数据个数）所得到的结果。其公式如下：
$$
\text{几何平均值} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}
$$
其中：
- $ x_1, x_2, ..., x_n $ 是一组正数；
- $ n $ 是数据的个数。
二、几何平均值的特点
| 特点 | 描述 |
| 适用于比例或增长率 | 如年利率、人口增长等 |
| 对极端值敏感 | 小数值对结果影响较大 |
| 不适用于负数或零 | 因为乘积可能为负或零，无法开根号 |
| 更能体现长期趋势 | 在计算复合增长率时更准确 |
三、几何平均值的应用场景
| 应用场景 | 说明 |
| 投资回报率 | 计算多期投资的平均收益率 |
| 经济增长 | 衡量GDP或人均收入的年均增长率 |
| 人口增长 | 分析人口增长速度 |
| 指数计算 | 如消费者价格指数（CPI）中的某些计算方式 |
四、几何平均值的计算示例
假设某公司连续三年的利润增长率为：5%、10%、15%，求这三年的平均增长率。
步骤：
1. 将百分比转换为小数：1.05、1.10、1.15
2. 计算乘积：$ 1.05 \times 1.10 \times 1.15 = 1.32825 $
3. 开三次方：$ \sqrt[3]{1.32825} \approx 1.10 $
4. 转换回百分比：1.10 - 1 = 0.10 → 10%
结果：
该公司的年均增长率约为 10%。
五、几何平均值与算术平均值的区别
| 比较项 | 几何平均值 | 算术平均值 |
| 公式 | $\sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}$ | $\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$ |
| 适用性 | 比例、增长率 | 平均数量、温度等 |
| 对极端值的反应 | 较弱 | 较强 |
| 结果大小 | 通常小于或等于算术平均值 | 通常大于或等于几何平均值 |
六、总结
几何平均值是一种重要的数学工具，特别适合用于计算具有乘法关系的数据集的平均值。它在金融、经济和科学研究中广泛应用，能够更真实地反映数据的变化趋势。理解其公式、特点和应用场景，有助于我们在实际问题中做出更合理的分析和判断。
