在数学领域中，向量积（也称为叉积）是一种用于计算三维空间中两个向量所形成的平行四边形面积的方法。同时，它还能确定一个垂直于这两个向量所在平面的方向。通常情况下，向量积可以通过三阶行列式的公式来表示。

假设我们有两个三维向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，它们的向量积 \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\) 可以通过以下三阶行列式来表达：

\[

\vec{c} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

\]

这里，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别是沿 x 轴、y 轴和 z 轴方向的单位向量。展开这个行列式后，得到的结果是一个新的向量 \(\vec{c}\)，其分量如下：

\[

\vec{c} =

\left( a_2b_3 - a_3b_2 \right) \mathbf{i} -

\left( a_1b_3 - a_3b_1 \right) \mathbf{j} +

\left( a_1b_2 - a_2b_1 \right) \mathbf{k}

\]

从上述公式可以看出，向量积的结果不仅包含了原向量的分量信息，还体现了几何上的重要特性，比如面积和方向性。这种结合了代数与几何特性的方法，在物理、工程学以及计算机图形学等领域有着广泛的应用。

此外，值得注意的是，向量积的大小等于由两个原始向量定义的平行四边形的面积，而它的方向则遵循右手定则。这意味着如果将右手的拇指指向第一个向量的方向，食指指向第二个向量的方向，则伸直的中指将指示向量积的方向。

总结来说，利用三阶行列式来求解向量积是一种既直观又实用的技术手段。通过这种方式，我们可以有效地处理涉及三维空间中的各种复杂问题，并且能够获得关于这些向量关系的重要信息。