tanx 的导数是 sec 平方 x，也可以写成 1 除以 cos 平方 x，这是高等数学微积分里面三角函数求导的核心基础公式，tanx 本身等于 sinx 除以 cosx，所以求导的时候可以使用商的求导法则推导出来，这个公式是高考 大学高数必考内容，很多同学只背结论，不清楚推导过程，做题遇到复合函数求导比如 tan2x tan (3x+1) 的时候就容易出错，tanx 导数定义域要特别留意，cosx 不能等于 0，也就是 x 不能等于二分之 π 加上 kπ，这个区间之外 tanx 才有导数，同时还要记住 secx 就是正割，secx 等于 1 除以 cosx，所以 sec 平方 x 和 1/cos²x 两种写法等价，考试两种答案都认可。

推导过程

tanx = sinx /cosx

使用商的求导法则，(u/v)' = (u'v - uv') /v²

令 u = sinx，v = cosx

u' = cosx，v' = -sinx

代入公式

(tanx)' = [cosx・cosx - sinx・(-sinx)] /cos²x

= (cos²x + sin²x) /cos²x

根据三角恒等式 sin²x + cos²x = 1

所以 (tanx)' = 1 /cos²x = sec²x

相关公式对照表

复合函数拓展

如果是复合函数 tan u，u 是关于 x 的函数，按照链式法则

(tan u)' = sec²u・u'

举例

tan2x 的导数 = sec²(2x)・2 = 2sec²2x

tan (x+1) 的导数 = sec²(x+1)・1 = sec²(x+1)

定义域重点说明

tanx 本身就要求 cosx 不等于 0，所以 tanx 的导数 sec²x，同样要求 cosx 不等于 0

也就是 x ≠ π/2 + kπ，k 为整数

在这个无定义点，tanx 本身没有函数值，自然也不存在导数，做题不能忽略定义域。

解题操作步骤

第一步 确认目标是求 tanx 的导数，回忆 tanx 等于 sinx 除以 cosx

第二步 选用商求导法则，分别求出 sinx 和 cosx 的导数

第三步 代入商求导公式，分子利用 sin 平方加 cos 平方等于 1 化简

第四步 把结果转换成 sec 平方 x，或者保留 1 除以 cos 平方 x 两种形式

第五步 如果是复合形式 tanu，继续叠加链式法则，乘上内层函数 u 的导数

第六步 最后检查定义域，确认 x 取值避开 cos 等于 0 的点

综合总结，tanx 导数等于 sec 平方 x，等价形式是 1 除以 cos 平方 x，推导依靠商求导法则结合同角三角函数平方恒等式，复合 tan 函数求导一定要搭配链式法则，同时牢记 tanx 导数的定义域限制，在 cosx 等于 0 的位置导数不存在，这个考点经常在选择填空和求导大题里面出现。

【常见问题】

问题 1 tanx 的导数可以写成 1 除以 cos 平方 x 吗

回答 1 tanx 的导数可以写成 1 除以 cos 平方 x，它和 sec 平方 x 是等价写法，tanx 导数两种表达在考试当中都属于正确答案。

问题 2 tanx 的导数为什么不能在 x 等于二分之 π 处存在

回答 2 tanx 的导数在 x 等于二分之 π 处不存在，因为该位置 cosx 等于 0，tanx 本身无定义，所以 tanx 的导数 sec 平方 x 也没有意义。

问题 3 tanx 的导数复合函数 tan3x 怎么求

回答 3 tanx 的导数链式法则应用，tan3x 的导数等于 sec 平方 (3x) 乘以内层导数 3，最终结果是 3sec 平方 3x，这是 tanx 导数公式的复合拓展用法。

问题 4 tanx 的导数和 cotx 导数有什么区别

回答 4 tanx 的导数是 sec 平方 x，cotx 导数是负的 csc 平方 x，tanx 的导数符号为正，cotx 导数符号为负，两个是互为余切的三角函数求导结果。

【免责申明】

本内容为微积分求导教学讲解，推导过程和公式为标准数学结论，不同教材书写格式可能存在差别，正式考试答题请以对应教材规范为准，本内容不构成考试官方标准答案。